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Procédure de résolution

La procédure de résolution est divisée en plusieurs étapes, y compris la localisation de la matrice de rigidité globale en tenant compte des conditions de support (supports fixes ou à ressorts au niveau des jonctions ou le long des lignes, ou du sous-sol élastique), la définition du vecteur de charge et l'analyse du système d'équations à l'aide de la méthode de Gauss via la factorisation de Cholesky de la matrice de rigidité globale. Les valeurs des variables primaires w_z, φ_x et φ_y calculées aux nœuds de maillage sont ensuite utilisées pour déterminer les forces internes m_x, m_y, m_xy, v_x et v_y ainsi que les quantités dérivées m₁ et m₂ et les valeurs de réactions développées sur des supports.

Eléments bidimensionnels

Le choix du type d'élément est essentiel pour la qualité des résultats du calcul de la solution du problème des plaques par la méthode des éléments finis. C'est pourquoi les éléments triangulaires (resp. quadrilatéraux) discrets de Kirchhoff-Mindlin, connus sous le nom de DKMT (resp. DKMQ) ont été choisis pour mettre en œuvre la méthode.

La formulation de l'élément de dalle implémentée dans le programme est basée sur la théorie discrète de Kirchhoff de la flexion de dalles minces, ce qui peut être considéré comme un cas particulier de la théorie de la plaque de Mindlin développée sur la base des hypothèses suivantes :

• la compression de la dalle dans la direction z est négligeable par rapport au déplacement vertical W_z
• les normales au plan médian de la dalle restent droites après la déformation mais ne sont pas nécessairement normales au plan médian déformé de la dalle
• la contrainte normale σ_z est négligeable comparée aux contraintes σ_x et σ_y.

Les éléments DKMT (resp. DKMQ) ont 9 (resp. 12) degrés de liberté - 3 déplacements indépendants à chaques nœud :

Les éléments répondent aux critères suivants :

• la matrice de rigidité a un rang correct (aucun état d'énergie nulle n'est généré)
• le test de convergence (patch test) est satisfait (i.e. la solution numérique restitue partout, en particulier aux nœuds intérieurs, la solution théorique exacte)
• ils conviennent au calcul de plaques minces et épaisses
• ils montrent de bonnes propriétés de convergence
• ils ne sont pas coûteux en calcul

En cas de maillage bien généré, les éléments quadrilatéraux sont préférables, car ils présentent un meilleur comportement par rapport aux éléments triangulaires.

Eléments unidimensionnels

La dalle peut être renforcée avec des poutres pour lesquelles un élément de grille unidimensionnel associé à ses déplacements W_z, φ_x et φ_y et ses efforts internes résultants M₁, M₂ et V₃ (torsion, moment de flexion et force de cisaillement) compatibles avec les éléments de la dalle (détails dans la littérature). La poutre est caractérisée par ses moments d’inertie I_t et I₂ (torsion, flexion), son aire A et sa surface de cisaillement A_s. Ces caractéristiques de section peuvent être calculées par le programme en fonction du type de section à partir de ses dimensions géométriques. Dans le calcul, une matrice de rigidité 6x6 locale est créée pour les poutres, qui est appliquée à la matrice de rigidité de la structure globale.

Littérature :

I. Katili, A new discrete Kirchhoff-Mindlin element based on Mindlin-Reissner plate theory and assumed shear strain fields - part I: An extended DKT element for thick-plate bending analysis, Int. J. Numer. Meth. Engng., Vol. 36, 1859-1883 (1993).

I. Katili, A new discrete Kirchhoff-Mindlin element based on Mindlin-Reissner plate theory and assumed shear strain fields - part II: An extended DKQ element for thick-plate bending analysis, Int. J. Numer. Meth. Engng., Vol. 36, 1885-1908 (1993).

Z. Bittnar, J. Sejnoha, Numericke metody mechaniky, CVUT, Praha, 1992.