Pomoc online

Morgenstern-Price

Metoda Morgenstern-Price jest metodą paskową, opracowaną na bazie równowagi granicznej. Metoda ta wymaga spełnienia równowagi sił i momentów oddziaływujących na poszczególne bloki.  Bloki tworzone są poprzez dzielenie gruntu powyżej powierzchni poślizgu, za pomocą płaszczyzn podziałowych. Siły oddziaływujące na poszczególne bloki pokazano na rysunku poniżej:

Schemat statyczny - metoda Morgenstern-Price'a

Dla każdego bloku zakłada się oddziaływanie tych samych sił, co w metodzie Spencer'a. W metodzie Morgenstern-Price'a przyjęto podane poniżej założenia, aby wyliczyć równowagę graniczną sił i momentów dla poszczególnych bloków:

• Płaszczyzny podziału między  blokami są zawsze pionowe.
• Linia oddziaływania ciężaru bloku W_i przechodzi przez środek segmentu i-tego powierzchni poślizgu, reprezentowany jako punkt M.
• Normalna N_i oddziaływuje w środku segmentu i-tego powierzchni poślizgu, w punkcie M.
• Nachylenie sił E_i oddziaływujących między blokami  różni się dla każdego bloku (δ_i), na punktach końcowych powierzchni poślizgu δ = 0.

Jedyna różnica między metodą Spencera i metodą Morgenstern-Price'a podana jest na powyższej liście założeń. Wybór kątów nachylenia δ_i sił E_i działających między blokami realizowany jest za pomocą funkcji "pół-sinusoidy" - wybierana jest automatycznie jedna z funkcji na poniższym rysunku. Wybór kształtu funkcji ma niewielki wpływ na wyniki ostateczne, ale odpowiedni wybór może poprawić konwergencję metody. Wartość funkcji pół-sinusoidy f(x_i), na punkcie granicznym x_i pomnożona przez parametr λ daje wartość kąta nachylenia δ_i.

Funkcja "pół-sinusoidy"

Rozwiązanie uwzględnia wyrażenia (1) - (5), podane w metodzie Spencera, tj.:

(1) zależność między efektywną a całkowitą wartością siły normalnej działającej na powierzchnię poślizgu. 

(2) Warunek Mohra-Coulomb'a przedstawiający zależność między siłami normalnymi i tnącymi dla danego segmentu powierzchni poślizgu (N_i i T_i)

(3) równanie równowagi sił w kierunku normalnym do segmentu i-tego płaszczyzny poślizgu

(4) równanie równowagi sił wzdłuż segmentu i-tego płaszczyzny poślizgu

(5) równanie równowagi momentów wokół punktu M.

Modyfikacja równań sił (3) i (4) pozwala na uzyskanie podanego poniżej wzoru rekursywnego (6):

Ten wzór umożliwia wyliczenie wszystkich sił E_i, przy danych wartościach δ_i i SF, oddziaływujących między blokami. Rozwiązanie przyjmuje, że na początku powierzchni poślizgu, znana jest wartość E i jest równa E₁=0.

Dodatkowy wzór rekursywny (7) wynika z równania równowagi momentów (5) i jest następujący: 

Ten wzór pozwala na obliczenie, przy danych wartościach δ_i, wszystkich ramion sił oddziaływujących między blokami, przy znanej wartości po lewej stronie na początku płaszczyzny poślizgu, gdzie z₁ = 0.  

Współczynnik bezpieczeństwa SF wyznaczany jest za pomocą podanego poniżej procesu iteracyjnego:

1. Wartość początkowa kątów δ_i ustawiona jest zgodnie z funkcją półsinusoidy (δi = λ_*f(x_i)).
2. Współczynnik bezpieczeństwa SF dla danej wartości δ_i wynika z równania (6), jeśli przyjmiemy wartość E_n+1 = 0 na końcu powierzchni poślizgu.
3. Wartość δ_i otrzymuje się z równania (7), z wykorzystaniem wartości E_i wyznaczonych w uprzednim kroku, przy wymaganiu zerowego momentu na ostatnim bloku. Wartości funkcyjne f(x_i) są takie same przez cały czas podczas iteracji, tylko parametr λ jest iterowany. Z równania (7) nie jest wyznaczana wartość z_n+1 ponieważ jest równa zeru. Dla tej wartości musi być spełnione równanie równowagi momentów (5).
4. Następnie powtarzane są kroki 2 i 3, dopóki wartość δ_i (odpowiednio parameter λ) nie będzie się zmieniać.

Aby uzyskać stabilny proces iteracji, konieczne jest unikanie niestabilnych rozwiązań. Takie niestabilności pojawiają się w miejscach, gdy zachodzi dzielenie przez zero w równaniach (6) i (7). W równaniu (7) dzielenie przez zero występuje dla δ = π/2 lub δ = -π/2. Tak więc, wartość kąta δ_imusi się zawierać w przedziale (-π/2 ; π/2).

Dzielenie przez zero w wyrażeniu (6) pojawia się gdy: 

Innym sprawdzeniem zapobiegającym niestabilności numerycznej jest weryfikacja parametru m_α  - musi być spełniony podany poniżej warunek:

Tak więc, przed wykonaniem iteracji, wymagane jest znalezienie najwyższych wartości krytycznych (SF_min) spełniających wyżej podane warunki. Wartości poniżej wartości krytycznej SF_min znajdują się w obszarze rozwiązań niestabilnych, tak więc iterację rozpoczyna się od ustawienia wartości SF na wartość "tuż" powyżej SF_min, a wszystkie wartości wynikowe SF z iteracji są wyższe niż SF_min.

Należy zwrócic uwagę na fakt, że metody rygorystyczne konwergują znacznie gorzej niż metody prostsze (Bishop, Fellenius). Problemy z konwergencją mogą wystąpić, np. w  przypadku wystąpienia zbyt stromych odcinków powierzchni poślizgu, skomplikowanej geometrii, czy  znaczących, gwałtownych przyrostów obciążeń. Jeśli wynik nie zostanie uzyskany zaleca się drobną korektę wprowadzonych danych, np. zdefiniowanie mniej stromej powierzchni poślizgu, zdefiniowanie większej liczby punktów definiujących powierzchnię poślizgu. Innym rozwiązaniem może być zastosowanie prostszej metody obliczeniowej.

Literatura:

Morgenstern, N.R., and Price, V.E. 1965. The analysis of the stability of general slip surfaces. Géotechnique, 15(1): 79-93.

Morgenstern, N.R., and Price, V.E. 1967. A numerical method for solving the equations of stability of general slip surfaces. Computer Journal, 9: 388-393.

Zhu, D.Y., Lee, C.F., Qian, Q.H., and Chen, G.R. 2005. A concise algorithm for computing the factor of safety using the Morgenstern-Price method. Canadian Geotechnical Journal, 42(1): 272-278.